Nelineární diferenciální rovnice (FUČÍK - KUFNER)

Při matematickém popisu dějů v přírodě i v technice se používá aparátu diferenciálních rovnic. Zjednodušení a zanedbání některých méně podstatných faktorů vede k rovnicím lineárním, jejichž metodika řešení je dnes už velmi silně rozvinuta. Jinak je tomu s nelineárními diferenciálními rovnicemi umožňujícími přesnější popis fyzikálních jevů: zde si matematika vytvořila aparát k jejich řešení teprve v průběhu posledních desetiletí.

Kniha „Nelineární diferenciální rovnice" je vlastně první původní českou publikací, která se zabývá systematickým výkladem nelineárních úloh a seznamuje širokou inženýrskou i matematickou veřejnost s celou touto ne právě lehkou problematikou i s mocným matematickým aparátem umožňujícím řešení praktických problémů. V celkovém širším kontextu zpřístupňuje čtenářům i část původních výsledků československé „nelineární" školy.

První kapitola představuje užitečný a zároveň i atraktivní úvod do celé problematiky. Poměrně rozsáhlá část (kapitola druhá a třetí) je věnována formulaci úlohy a jistému vymezení „akčního rádia“ celé teorie. Výklad je velmi podrobný, čtenář je k pojmu slabého řešení nelineární okrajové úlohy (který je základním pojmem celé knihy) veden přirozenou cestou, vše je ilustrováno velkým množstvím příkladů, čtenář se seznámí i s různými možnostmi zobecnění a rozšíření studovaných problémů.

Těžištěm knihy jsou kapitoly čtvrtá a pátá, zabývající se dvěma základními metodami, jimiž lze nelineární úlohu řešit: metodou variační a metodou topologickou. Nejprve je ukázáno, jak lze řešení okrajové úlohy převést na hledání minima jistého funkcionálu, jsou uvedeny podmínky zaručující existenci tohoto minima a tím i existenci řešení výchozí úlohy a konečně je zde zmínka (byť stručná) o numerických metodách. V páté kapitole jsou výsledky kapitoly čtvrté zobecněny pro případ složitějších úloh. Základním pojmem těchto kapitol je pojem monotónního operátoru v Banachově prostoru.

Monografický charakter má kapitola šestá, věnovaná tzv. nekoercivním úlohám; závěrečná kapitola seznamuje Čtenáře s moderní disciplínou — variačními nerovnicemi — umožňujícími řešit další netriviální inženýrské problémy.

Autoři charakterizují svou knihu jako „volné nelineární pokračování" knihy prof. RNDr. Karla Rektoryse, DrSc.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, v níž jsou podrobně studovány úlohy lineární. Tato charakteristika vystihuje dílo jak po stránce metodické, tak i po stránce čitelnosti textu vhodné i pro čtenáře s nepříliš hlubokou matematickou průpravou. Je ovšem třeba zdůraznit, že problematika v knize studovaná je obtížná a vyžaduje moderní matematické prostředky, především poznatky z funkcionální analýzy. Autoři proto vysvětlují pomocný matematický aparát dosti podrobně vždy na tom místě, kde ho používají.

Kniha si klade za cíl vyložit hlavní myšlenky a metody řešení nelineárních úloh. Účelem knihy tedy není podat vyčerpávající výklad s nejobecnějšími tvrzeními a podrobnými důkazy. Proto je na řadě míst místo důkazu uváděna jen jeho myšlenka, nebo je výsledek ilustrován na konkrétnějších příkladech; vždy je ovšem odkázáno na příslušnou literaturu.

Kniha je určena vyspělým inženýrům, výzkumným pracovníkům, pracovníkům v přírodovědných oborech, vědeckým aspirantům a matematikům, kteří se ve své teoretické i praktické činnosti setkávají s problematikou nelineárních diferenciálních rovnic, a to rovnic jak obyčejných, tak parciálních. Svou tematikou i svým zpracováním vhodně doplňuje dosavadní publikace vydané v Teoretické knižnici inženýra a zaplňuje jednu z mezer v naší matematické literatuře.